Un anello (con identità) è un insieme R con tre operazioni +, ⋅ (operazioni binarie), - (passaggio all’opposto) e due elementi speciali: 0 e 1. Tale insieme soddisfa varie proprietà indicate come assiomi. Le operazioni + e ⋅ possono essere pensate come applicazioni da R × R (coppie di elementi dell’insieme R) in R, in modo che per ogni coppia (a, b) con a, b in R, a+b e a⋅b sono elementi di R. Analogamente l’operazione - è un’applicazione da R in R che porta un elemento a di R in -a, anch’esso appartenente a R.

Associativa: + c = a + ; c = a

Commutativa: a + b = b + a; ab = ba

Distributiva: a = +

0: a + 0 = a (Elemento neutro dell’addizione); a ⋅ 0 = 0

1: a ⋅ 1 = a (Elemento neutro della moltiplicazione)

Proprietà dell’opposto: a + (-a) = 0

Un insieme che verifichi tutte queste proprietà si chiama Anello Commutativo Unitario. Riepilogando, quindi, in un anello semplice non è presente la proprietà commutativa del prodotto e l’elemento speciale 1, in un anello Commutativo sono presenti le proprietà dell’anello semplice più la proprietà commutativa del prodotto e in un anello unitario sono presenti le proprietà di un anello semplice più l’elemento speciale 1.

La relazione d’ordine stretta si indica con il simbolo < mentre la relazione d’ordine non stretta si indica con il simbolo ≤.

Proprietà Transitiva: se a < b e b < c allora a < c

Proprietà Tricotomica (suddivisione in tre parti disgiunte): dati x,y, può valere solamente una delle seguenti tre: x < y, x = y, x > y ovvero y < x

Proprietà Riflessiva: a ≤ a

Proprietà Antisimmetrica: a≤ b e b ≤ a ⇒ a = b

Proprietà Transitiva: a ≤ b e b ≤ c ⇒ a ≤ c

Proprietà Connessa: vale almeno una delle seguenti due: a ≤ b, b ≤ a

Bisogna porre in relazione l’ordinamento con le precedenti strutture algebriche attraverso le seguenti proprietà:

Proprietà della Monotonia: a > b ⇒ a + c > b + c

Proprietà della Positività: a, b > 0 ⇒ ab > 0

ℤ, ℚ, sono anelli ordinati.

Dimostriamo che x + y = 0 deve implicare necessariamente y = . Se fosse y > -x, allora per monotonia y + x > -x + x da cui y + x > 0. Se fosse y < -x, allora sempre per monotonia y + x < -x + x da cui y + x < 0. Per la proprietà della tricotomia può essere quindi solo y = , da cui la tesi.

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Se 1 fosse -1, per la positività avremmo che 0 < -1, ma allora avremmo che 1 = > 0, cadendo in contraddizione.

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Per la proprietà distributiva sullo 0 viene: a⋅ 0 = a = a⋅ 0 + a⋅ 0. Si sottrae a ⋅ 0 in entrambi i membri e otteniamo la tesi.

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a + ab = a = a ⋅ 0 = 0, quindi a = -ab.

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- ab = = ⋅ 0 = 0, quindi = ab.