Fino al campo dei Numeri Reali, tutte le proprietà che interessano (commutativa, associativa, distributiva, lo zero, l’uno, ecc.) e un ordinamento che rispettava le regole di monotonia e di positività vengono preservati. Se vogliamo risolvere le equazioni di secondo grado, però, siamo limitati. Infatti la regola dei segni è una conseguenza immediata della distributività, della positività e della monotonia, che sono le proprietà dell’ordinamento di un qualunque anello ordinato; se vale la regola dei segni, i quadrati sono sempre positivi e quindi non si possono mai fare le radici quadrate dei numeri negativi. Voler estendere vuol dire quindi rinunciare alle proprietà dell’ordinamento, rinunciare quindi alle regole dei segni e agli assiomi da cui si deducevano, e rinunciare così al fatto che ci sia un ordinamento tale che il prodotto di due numeri positivi sia positivo.

Si definisce così un nuovo campo ℂ dei Numeri Complessi su cui non c’è l’ordinamento perchè non può essere un campo ordinato, ma solo un insieme ordinato.

Ciò che serve è , poichè così si potrebbe estrarre la radice di un qualsiasi reale negativo. Se α ⁺, si ha che:

dunque per ottenere un ambiente in cui fare basta saper fare , che non sarà ovviamente un reale. Si aggiunge quindi ad un qualcosa che viene chiamata i (unita immaginaria) che ha la particolare proprietà:

Si considerano allora tutti i numeri della forma:

che è il il minimo indispensabile se non si vuole rinunciare ai reali e si vuole considerare anche i.

Siccome si vuole ottenere un campo, si può usare a priori le proprietà associativa, commutativa e distributiva perchè tanto alla fine dovranno valere e per sommare due numeri della forma a + ib, ottenendone un terzo della stessa forma, si può procedere nel seguente modo:

(1)

ottenendo ancora un’espressione dello stesso tipo. Definiamo quindi:

cioè l’insieme delle espressioni formali della forma a + ib, dove + non è somma ma puro simbolo.

Perchè ℂ sia un campo, bisogna definire la somma, il prodotto, lo zero, l’uno e le solite proprietà, ed inoltre si vuole che in ℂ ci siano anche i vecchi numeri reali, cioè identificare in ℂ, in modo tale che la somma in ℂ coincida, nel caso di somma di reali, con la somma in . A tal proposito si definisce:

(2)

cioè si è identificato α reale con α + iØ in ℂ. Bisogna definire la somma, e si è visto che c’è un modo naturale in (1). La somma è associativa, commutativa e distributiva. Poi ci sono lo zero e l’uno:

che sono casi particolari della (2), e si verifica che valgono le proprietà dello zero e dell’uno. L’opposto sarà:

Per il prodotto si ha:

Si é ottenuta ancora un’espressione dello stesso tipo, e il prodotto così definito é commutativo, associativo e distributivo.