I reali si possono vedere come punti della retta: fissati 0 e 1, sono fissati sulla retta tutti i reali. Anche i complessi si possono rappresentare geometricamente, tramite il Piano di Gauss.

Fissato un asse immaginario (con l’unità i) ed un asse reale (con l’unità 1) ad ogni punto del piano corrisponde un numero complesso e viceversa. Questa corrispondenza funziona molto bene per la somma. Infatti se si immagina il complesso come un vettore che congiunge l’origine con il punto di coordinate (a, ib), allora la somma di due numeri complessi equivale alla somma dei rispettivi vettori, ottenuta sul piano con la regola del parallelogramma.

Per il prodotto questa rappresentazione non é affatto comoda; si preferisce allora rappresentare i vettori con coordinate polari:

Un vettore z = a + ib di lunghezza (modulo) ρ si può anche scrivere come z = ρ poichè a = ρcosζ e ib = ρsenζ dove ρ = = è il modulo. ζ è detto argomento (o anomalia) di z. Inoltre, cosζ = e senζ = . Dati a e b si può sempre ottenere ρ e ζ e viceversa. Allora se w = c + id = ρ^I allora si ha che:

(1)

Quindi il numero appare sempre in forma trigonometrica, con modulo pari al prodotto dei moduli ed argomento pari alla somma degli argomenti: un modo molto comodo di fare i prodotti dei numeri complessi.

La formula (1) per il prodotto è di grande utilità per calcolare le potenze (che sono ovviamente dei prodotti iterati). Nel prodotto i moduli si moltiplicano e gli argomenti si sommano allora, elevando a potenza, i moduli si elevano a potenza e gli argomenti diventano multipli, cioé:

(2)

La (2) vale anche per n negativo.

Occorre anche l’inverso:

La parte reale dev’essere uguale a 1 mentre la parte immaginaria a 0:

(3)

Se z = a + ib allora il suo coniugato è: = a-ib. Quindi z = a² + b² = ρ² e per calcolare l’inverso di z lo si moltiplica per . Da notare che se si sommano c e d della (3) si ottiene la stessa quantità.

La formula della potenza in forma cartesiana é molto più complicata.

Trovata la potenza, si possono avere le radici n-esime:

dato w = σ bisogna trovare gli z tali che zⁿ = w. Allora dev’essere: ρⁿ = σ da cui σ = ρⁿ. Per quanto riguarda il resto non è vero che dev’essere nϑ = φ ma, poichè l’argomento conta a meno dei multipli di 2π, allora dev’essere:

σ è reale non negativo (è il modulo) quindi di radici n-esime ce n’è una sola, data da:

ϑ non è determinato, perchè è:

Sembrerebbe che ci siano infiniti ϑ possibili (ci sono infiniti k possibili) ma si prendono valori di ϑ a meno di giri di 2π. Si riesce a fare un giro intero aumentando di un multiplo di n, quindi due argomenti danno lo stesso risultato se e solo se i k che li rappresentano sono congrui (mod n). Per fare le radici n-esime non conta k, ma la classe di k (mod n); le possibili classi (mod n) sono esattamente n, dunque esistono esattamente n radici n-esime di ogni numero complesso, date da:

Per ottenere graficamente tutte le radici n-esime, dopo aver ottenuto una di esse ad esempio per k=0, basta disegnare l’n-agono regolare di centro 0 ed ogni vertice rappresenta una radice:

Un’altra notazione molto comoda per indicare i complessi è la notazione esponenziale:

Estendendo l’esponenziale ai numeri complessi, preservando la proprietà che e^z₁+z₂ = e^z₁e^z₂, abbiamo che:

Quindi per fare l’esponenziale di un numero complesso, si prende l’esponenziale della parte reale e lo si moltiplica per il numero complesso di modulo 1, ottenuto mediante la parte immaginaria. Quindi quando si fa l’esponenziale di un numero complesso, il vettore si ingrossa e la parte immaginaria decide di quanto deve ruotare il vettore.

La quantità cosb + isenb non determina univocamente b, ma lo determina a meno di multipli di 2π. Ciò vuol dire che nei complessi la funzione esponenziale non è biunivoca.

Sia z un numero complesso tale che = ρ e arg = ϑ. Allora, fare il logaritmo di z significa trovare quel numero per cui e^logz = z. e^Re = ρ quindi Re = logρ = log e e^Im = cosϑ + isenϑ e Im = arg ma l’argomento di z è definito a meno di multipli di 2π e quindi alla fine si ottiene:

Stavolta per ogni k c’è un valore ben diverso. Si hanno quindi infiniti logaritmi possibili, cioè ci possono essere infiniti numeri, con la stessa parte immaginaria ma con diversa parte immaginaria, che possono fungere da logaritmo di uno stesso numero complesso.