Il Teorema Fondamentale dell’Algebra dice che ogni equazione algebrica a coefficienti in ℂ ha una radice. In gergo si dice che ℂ è algebricamente chiuso, cioè con le radici delle equazioni algebriche non si può uscire da ℂ.

Ci sono molte dimostrazioni di questo teorema, ma quella puramente algebrica utilizza i metodi dell’analisi e questo perchè siccome i complessi sono definiti a partire dai numeri reali, e molte proprietà dei reali non sono proprietà algebriche ma dipendono dall’ordinamento, allora è molto comodo usare gli strumenti dell’analisi.

Si utilizza il seguente teorema algebrico: dato un polinomio a_nxⁿ +a_n-1x^n-1 +...+a₀ e considerato un cerchio del piano complesso, variando la x nel cerchio chiuso compreso il bordo, allora ci sarà un punto in cui il modulo è massimo ed uno almeno in cui il modulo è minimo (infatti nei complessi non c’è ordine e bisogna considerare il modulo). Intuitivamente ciò non è ovvio, perchè potrebbe capitare che il polinomio vada verso l’infinito, oppure avere l’estremo superiore e non il massimo (succede se il cerchio è aperto), ma se il cerchio è chiuso queste cose non si verificano. In realtà il teorema vale in generale sulle funzioni continue a valori reali definite su un disco chiuso. Esse hanno un valore minimo ed uno massimo.