Risolvere in ℂ il seguente sistema:

Un modo di risolvere questo sistema è quello di sostituire z con a+ib (detto sistema della forza bruta). Un altro è quello di considerare il sistema dal punto di vista grafico:

z=a+ib ma, poichè z giace sulla bisettrice si ha che z=a+ia, che sostituiamo nella prima equazione:

Si hanno così due possibilità per z:

z = + i e z = - - i. Vanno bene entrambe.

Risolvere in ℂ il seguente sistema:

Notiamo che gli esponenti di z nella prima e seconda equazione sono i divisori comuni di 6, quindi eleviamo la prima equazione del sistema al cubo e eleviamo la seconda al quadrato, ottenendo:

Quindi dev’essere -w¹²=. Poichè ww = ², otteniamo -w²w¹⁰w¹⁰ = 1 da cui -w²²⁰ = 1. Si prende il modulo di entrambi i membri e, poichè = , abbiamo che ²² = 1. Dato che ⁺ otteniamo infine = 1. Allora abbiamo le due possibili soluzioni per w: w = i e w = -i.

Sostituiamo z = i nella prima equazione: z² = -⇒ z² = -1 da cui le due soluzioni z = i e z = -i.

Sostituiamo z = i nella seconda equazione: z³⁵ = 1 ⇒ z³ = i, che esclude z = i. Quindi per w = i abbiamo z = -i.

Sostituiamo z = -i nella prima equazione: z² = -⁴⇒ z² = -1 da cui le due soluzioni z = i e z = -i.

Sostituiamo z = -i nella seconda equazione: z³⁵ = 1 ⇒ z³ = -i, che esclude z = -i. Quindi per w = -i abbiamo z = i.

Risolvere in ℂ il seguente sistema:

Siccome z = ², la seconda equazione diventa ²z = -8i, da cui si deduce che z dev’essere immaginario puro, cioè z = -bi ⇒ z = bi. Quindi = b -.

Si sostituisce e otteniamo:

b = 2 soddisfa anche la prima equazione.

Risolvere in ℂ il seguente sistema:

Si comincia subito col notare che z - 1 è una radice quinta di 1 e che z - i significa traslare verso il basso di 1. Le cinque radici sono e^iπn con n=0, 1, 2, 3, 4. z - 1 può essere uno di questi cinque valori e quindi dev’essere z -i = e^iπn ⇒ z = e^iπn + 1, che sono i vertici traslati di 1. I tre vertici più in basso si possono escludere e per z rimangono due possibili scelte: z = e^iπ + 1 e z = e^iπ + 1.

In forma geometrica, avremo che z = e^iπ + 1 = + i e z - i = + i

Sostituendo in ² < ², otteniamo che senπ > e quindi la disequazione è verificata. Per z = e^iπ + 1 otteniamo che senπ > con la disequazione verificata anche in questo caso.

Risolvere in ℂ il seguente sistema:

z = 0 è una radice del sistema; sia z≠0. Nella prima equazione si dividono entrambi i membri per il modulo elevato alla sesta: = 1. Se = w otteniamo w⁶ = 1, le radici seste di 1. Siccome z = w e = 64 abbiamo che z = 64e^iπn n = 0,...,5.